Bài toán này thấy bên VMF do bạn monokoro_huong gửi lên, đem về nghiên cứu dần dần. Mời mọi người vào trao đổi nhé!
Bài toán. Cho \left(X, .\right) là một nhóm. Với mỗi g \in X, ánh xạ C_{g} được xác định bởi:
C_{g}: X \rightarrow X
x \rightarrow C_{g}x = g.x.g^{-1}
Kí hiệu \textrm{Ant}\left(X\right) = \{ f: X \rightarrow X | f là đẳng cấu \}\textrm{Inn}\left(X\right) = \{C_{g} | g \in X\}. Chứng minh:
a) C_{g} là một tự đẳng cấu.
b) \textrm{Ant} \left( X \right) là 1 nhóm đối với phép hợp các ánh xạ và \textrm{Inn} \left( X \right) là nhóm con chuẩn tắc của \textrm{Ant} \left( X \right).
Lời giải đề xuất (của bạn có nick là phuc_90)

a) Với mọi a, b \in X ta có:
C_{g} \left(a+b\right)=g\left(a+b\right)g^{-1}=gag^{-1}+gbg^{-1}=Cg\left(a\right)+C_{g}\left(b\right)
C_{g}\left(ab\right)=g\left(ab\right)g^{-1}=gag^{-1} . gbg^{-1}=C_{g}\left(a\right) . C_{g}\left(b\right).
Vậy C_{g} là đẳng cấu.
Lấy x \in \textrm{Ker} C_{g}, ta có: C_{g} \left(x\right)=0 hay gxg^{-1}=0 \Rightarrow x=0. Vậy C_{g} là đơn cấu.
Lấy y \in X, \exists g^{-1}yg \in X sao cho C_{g}\left(g^{-1}yg\right)=g\left(g^{-1}yg\right)g^{-1}=y. Vậy C_{g} là toàn cấu.
Do đó C_{g} là tự đẳng cấu của X.

b) Chứng minh: \textrm{Ant}\left(X\right) là một nhóm đối với phép hợp nối ánh xạ.
Lấy f, g, h \in \textrm{Ant} \left(X\right) là các đẳng cấu bất kì, khi đó: \left(f \circ g\right)\circ h = f \circ \left(g \circ h\right)
Với mọi f \in \textrm{Ant}\left(X\right) thì tồn tại phần tử trung hòa của \textrm{Ant} \left(X\right)\textrm{Id} \in \textrm{Ant}\left(X\right) sao cho f \circ \textrm{Id} = \textrm{Id} \circ f = f, với \textrm{Id} là ánh xạ đồng nhất của X.
Với mọi f \in \textrm{Ant} \left(X\right) thì tồn tại phần tử nghịch đảo của ff^{-1} \in \textrm{Ant} \left(X\right) sao cho f \circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = \textrm{Id}. Vậy \textrm{Ant} \left(X\right) là 1 nhóm.
Chứng minh: \textrm{Inn} \left(X\right) là nhóm con chuẩn tắc của \textrm{Ant}\left(X\right).
Tự kiểm tra phần \textrm{Inn} \left(X\right) là nhóm con của \textrm{Ant}\left(X\right).
Với mọi f thuộc \textrm{Ant} \left(X\right). C_{a} \in \textrm{Inn} \left(X\right), ta sẽ chứng minh f \circ C_{a} \circ f^{-1} \in \textrm{Inn} \left(X\right).
Lấy x \in X, ta có: f \circ C_{a}\circ f^{-1}\left(x\right) = f \left( a f^{-1}\left(x\right) a^{-1} \right) = f\left(a\right) f\left( f^{-1}\left(x\right) \right) f\left(a^{-1}\right) = f\left(a\right) x f\left(a\right)^{-1} = Cf\left(a\right) \left(x\right) \in \textrm{Inn} \left(X\right).
Vậy \textrm{Inn} \left(X\right) là nhóm con chuẩn tắc của \textrm{Ant}\left(X\right).