Trước hết ta nhắc lại về số thập phân vô hạn tuần hoàn thông qua ví dụ sau:
Chẳng hạn khi lấy 1 chia cho 3, ta sẽ được số 0,333... ta nói đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì 3. Kí hiệu 0,\left(3\right) chỉ rằng chữ số 3 được lặp lại vô hạn lần. Tương tự khi lấy 1 chia cho 9 ta được 0,\left(1\right).
Quay trở lại vấn đề ban đầu:
Ta gọi số 0,999...=a tức là 0,\left(9\right)=a. Khi đó:
10a=9,99...=9+0,99...=9+0,\left(9\right)
\Rightarrow 10a=9+a
\Rightarrow 9a=9
\Rightarrow a=1
Tức là có: 0,999...=1???