Bài toán này nằm trong đề thi Olympic 30-04 dành cho Học sinh lớp 10 (không rõ năm).
Giải phương trình:
\left( x+1 \right)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1 (1)
Dưới đây là cách giải được đưa ra để hướng dẫn chấm:
Tập xác định \mathbf{R}
Đặt \sqrt{x^{2}-2x+3}=t, với t \geq \sqrt{2}.
Khi đó phương trình (1) trở thành \left( x+1 \right)t=x^{2}+1 (2).
(2) \leftrightarrow \left(t^{2}+2x-3\right)+1- \left(x+1 \right)t=0
\leftrightarrow t^{2}-\left(x+1\right)t+2\left(x-1\right)=0
\leftrightarrow t=2 hoặc t=x-1
+Với t=2, ta có \sqrt{x^{2}-2x+3}=2 \leftrightarrow x^{2}-2x+3=4
\leftrightarrow x^{2}-2x+1=0 \leftrightarrow x=1-\sqrt{2} hoặc x=1+\sqrt{2}.
+Với t=x-1 ta có \sqrt{x^{2}-2x+3}=x-1
\leftrightarrow x-1 \geq 0x^{2}-2x+3=\left(x-1\right)^{2}
\leftrightarrow x \geq 13=1
\leftrightarrow x \in \phi
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là \{1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \}.
Như vậy bài toán đã được giải xong. Nhưng nhìn vào đề bài ta thấy được ngay rằng vế phải luôn dương, vế trái có biểu thức trong dấu căn dương. Vì vậy:
(1) \leftrightarrow x+1 > 0\left(x+1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+3\right)=\left(x^{2}+1\right)^{2} (3).
Biến đổi phương trình (3) ta sẽ thu được ngay phương trình x^{2}-2x-1=0. Phương trình này có hai nghiệm 1+\sqrt{2}1-\sqrt{2} theo cách giải trên và rõ ràng thỏa mãn điều kiện x > -1.
Nhìn lại thì thấy cách giải thứ hai khá là nhanh và gọn. Tuy nhiên với cách giải thứ hai chúng ta chỉ có thể áp dụng giải được cho bài toán này. Nhưng với cách giải đầu tiên thì chúng ta sẽ rút ra được phương pháp giải cho một dạng bài toán giải phương trình chứa căn thức: “Khi đặt ẩn số phụ mà phương trình thu được có thể giải được mà vẫn chứa ẩn ban đầu thì coi ẩn ban đầu là tham số và giải theo ẩn mới vừa đặt”.